Üçgen

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucakda denir.

Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°, dış açılarının toplamı 360°'dir.

{displaystyle [AB]U[AC]U[BC]=ABC!,}

Burada;

A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri ve {displaystyle [AB],[AC],[BC]!,} doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. {displaystyle alpha !,}, {displaystyle beta !,} ve {displaystyle gamma !,} üçgenin iç açılarıdır.

Matematiksel tanım

Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B ve C de bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin bir Riemann yüzeyi olarak Dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açılarının toplamı 270°'dir.

Daha genel olarak, bir topolojik uzayda verilen herhangi üç noktayı birleştiren herhangi üç eğrinin birleşimine üçgen denir. İki boyutlu bir çokkatlı bu tür üçgenlerin (belli özellikleri sağlayan) birleşimi olarak ifade edildiğinde, bu üçgenler topluluğuna çokkatlının üçgenlenmesi denir.

Aşağıdaki özellikler, Öklit düzlemindeki üçgenlere aittir.

Üçgenin açıları

 

Üçgenin dış açıları

 

Üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunun ispatı

BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçılarıdır.

{displaystyle |BC|=a!,}, {displaystyle |AB|=c!,} ve {displaystyle |AC|=b!,} {displaystyle alpha +beta +gamma =180^{0}!,}

• Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Bir ABC üçgenine A tepe noktasından teğet geçecek şekilde ve BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

• Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Bir ABD üçgenine D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

Üçgenlerin türleri

Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da Hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

Kenarlarına göre üçgenler

Eşkenar	İkizkenar	Çeşitkenar

Eşkenar üçgen

Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

İkizkenar üçgen

İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşittir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay, hem kenarortay özelliği gösterir.

Çeşitkenar üçgen

Her kenarının uzunluğu ve açısı farklıdır. Çeşitkenar üçgenin simetrisi yoktur.

Açılarına Göre Üçgenler

Dar açılı üçgen

Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

Dik açılı üçgen

Bir açısı dik (yani 90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.

Geniş açılı üçgen

Açılarından biri 90°den büyük olan üçgenlerdir. Sadece bir tek açısı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

Üçgen bağıntıları

Pisagor Bağıntısı

Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:

{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}!,}.

 

Pisagor bağıntısı

 

Alan hesaplamaları

Kenardan yararlanma

 

Alan hesaplaması

Bir üçgenin alanı, taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

{displaystyle {frac {b.h}{2}}=A(ABC)}

Açıdan yararlanma

Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarı ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır. 
{displaystyle A(ABC)={frac {a.b.singamma }{2}}}

Heron Yöntemi

Çevre uzunluğuna '2u', yarısına 'u' dersek alan:

{displaystyle A(ABC)={sqrt {u(u-a)(u-b)(u-c)}}}

Kosinüs Teoremi

Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da {displaystyle alpha } olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:

{displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab.cosalpha }}}

Öklit Bağıntısı

Bir dik üçgende hipotenüse "a" diğer iki kenara "b" ve "c", hipotenüs uzunluğunun yüksekliğine "h", bu yüksekliğin ikiye böldüğü "c" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "p", "b" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "k" dersek,

 

Öklid bağıntısı

{displaystyle h^{2}=k.p}

{displaystyle b^{2}=k(p+k)}

{displaystyle c^{2}=p(p+k)}

{displaystyle a.h=b.c}

Üçgende yardımcı elemanlar

Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberinin merkezidir..

 

Açıortay

{displaystyle {frac {|AC|}{|CD|}}={frac {|AB|}{|DB|}}}

Açıortay uzunluğu

{displaystyle |AD|={sqrt {|AC||AB|-|BD||DC|}}}

Kenarortay

 

Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı {displaystyle 2n} ve {displaystyle n} olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek; 
{displaystyle |AG|=2|GD|!,} olur.

Kenarortay teoremi

{displaystyle 2V_{a}^{2}=b^{2}+c^{2}-{frac {a^{2}}{2}}}

Üçgenlerle ilgili teoremler

Ceva Teoremi

 

Ceva Teoremi 'nin uygulandığı üçgen

Ceva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:

{displaystyle {frac {|CE|}{|EA|}}.{frac {|AF|}{|FB|}}.{frac {|BD|}{|DC|}}=1}

Menelaus Teoremi

 

Menelaus Teoremi

Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:

{displaystyle {frac {|FB|}{|FA|}}.{frac {|AE|}{|EC|}}.{frac {|CD|}{|DB|}}=1}

Steward Teoremi

 

Steward Teoremi

Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir:

{displaystyle |AD|^{2}={frac {c^{2}.n+b^{2}m}{m+n}}-m.n}

Carnot Teoremi

Bir üçgenin iç bölgesinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a, b (ilk kenar) x, y (ikinci kenar) m, n (üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın. Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda:

{displaystyle a^{2}+x^{2}+m^{2}=b^{2}+y^{2}+n^{2}!,}